八年级数学竞赛辅导资料及答案（八）
连续正整数的性质
甲内容提要
一. 两个连续正整数
1. 两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。
2. 两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3. 两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4. 大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。
二. 计算连续正整数的个数
例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）
1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个 （9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2. 连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
49－13＋1＝19 2
48－14从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18 2
48－154. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12 3
49－13从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13 33. 从13到49的连续奇数的个数是
你能从中找到计算规律吗？
三. 计算连续正整数的和
n （n 是正整数） 2
b -a +1 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b) 21. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ）
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下：
2355－11＝759 （∵从11到55有奇数＋1＝23个） 22
1553－113. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共232. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×
＋1＝15）
四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘
1. n 个连续正整数的积能被n ！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
2. n ！含某因质数的个数。举例如下：
① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个
其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个
其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个
② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个
其中125＝53含三个5 再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
乙例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？
解：页数编码中，一位数1到9共9个
两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：
1234……99100。问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
③ 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？
解： ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，
剩下的数的前十位是9999978596。
例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵＝11，＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x 是112≤x
; ∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。
解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a
根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）
把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a （2）
∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6 且0＜a ≤9
由（1）可知a 可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合
x(x+1)=36×37
答所求的连续正整数是36和37
丙练习24
1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n 位数有____个。
2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。
4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，123
198位
那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____
这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题)
5. 已知a=111 11, b=999 99
1990个11990个9
那么①ab=______________
②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)
6. 计算连续正整数的平方和的个位数：
① 12+22+32+……+92和的个位数是_______
② 12+22+32+……+192和的个位数是______
③ 12+22+32+……+292和的个位数是______
④ 12+22+32+……+392和的个位数是______
⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿
（1990全国初中数学联赛题)
7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1) 它们共有三组：
____________，_________________，_____________________。
8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990年全
国初中数学联赛题)
10. . 设a,b,c 是三个连续正整数且a 2=14884,c2=15376,那么b 2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
11. 计算：① 2+4+6+…+100=
②1+4+7+10+…+100=
③ +10+15+…+100=
12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？
如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n ，那么必有两个是互质数，试说明理由。
13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直
到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题)
提 示：先求积中含质因数5的个数
参考答案
1. 30，300，3×10 n-1 2. 475个，317个
3. 2893，13501 4. 102，906，6
5. ①111 10888 89 ②1990×9 6. 5，0，5，0，5
1989个1989个
7. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3……15
8. 24，24 9. 17 10. （B ） 11. ①2550，②1717，③1050
12. ∵小于20的正整数中有10个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有10抽屉，11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。
这一串数是除以3余1的正整数，我们来计算含质因数5的个数：
能被5整除且除以3余1的正整数是10，25，40，……700，先各算1个
能被52整除且除以3余1的正整数是25，100，175，…700，各多算1个 能被53整除且除以3余1的正整数是250，625， 再各加1个，
能被54整除且除以3余1的正整数是625，再加1个，共含有60个5 答积的尾部共有零 60个 （上述可用式子表示：
5k -125k -1125k -1625k -1，，，的整数值） 3333